Die meisten heutigen Verfahren zur Verschlüsselung und Entschlüsselung von Information bei Verwendung z.B. im Internet (Homebanking) oder im Auto (SMS-Telematik, Zertifikate) basieren auf der Schwierigkeit, große Primzahlen zu finden, bzw. eine große (öffentliche) Zahl in wenige aber große (private) Primfaktoren zu zerlegen. Das bekannteste und erfolgreichste Verfahren in der Public-Key-Kryptographie ist das RSA-Verfahren. Im Jahr 1994 demonstrierte der amerikanische Mathematiker Peter W. Shor, daß das Problem des Faktorisierens einer natürlichen Zahl N \"effizient\" auf einem Quanten-Rechner gelöst werden kann. \"Effizient\" bedeutet in diesem Zusammenhang, daß die Anzahl sogenannter \"Gate-Operationen\" auf einem Quanten-Rechner ein einfaches Polynom darstellt. Im Gegensatz dazu sind die Rechen-Operationen auf einem klassischen Rechner immer von exponentialer Größenordnung. Da es bis heute noch keinen derart \"effizienten\" Quanten-Rechner gibt, macht die vorliegende Arbeit einen Ansatz, die stochastischen Eigenschaften der Quanten-Mathematik auszunutzen, um zu untersuchen, ob es für das Problem des Faktorisierens einer natürlichen Zahl N mit Hilfe des Shor-Verfahrens möglich ist, die Anzahl der mathematischen Operationen auf einem klassischen Rechner mit Hilfe von phasenbehafteten Messungen zu \"polynomialisieren\". Das Shor-Verfahren liefert zum Faktorisierungs-Algorithmus von Gary Lee Miller nur die Berechnung der Ordnung R Modulo N, während die Faktoren von N weiterhin über Euclids Formeln des größten gemeinsamen Teiler ermittelt werden. Aus diesem Grund untersucht diese Arbeit, ob sich die Berechnung der Ordnung R \"polynomialisieren\" läßt. Bei einer phasenbehafteten Messung des Shor-Algorithmus wird das Multi-q-Bit als Ergebnis der Hadamard-Transformation per Zufallsgenerator zum ersten Mal und als Ergebnis der inversen Fourier-Transformation zum zeitenmal gemessen. Phasenbehaftet bedeutet in diesem Zusammenhang, daß die ursprüngliche Phase des Basisvektors im Multi-q-Bit nach der Messung normiert übernommen wird. Wird eine polynomiale Anzahl verschiedener Messungen aufsummiert, dann erhält man als Ergebnis einen reduzierten Shor-Algorithmus. Mit diesem reduzierten Algorithmus wird die Ordnung R Modulo N ermittelt und mit dem erwarteten Wert verglichen. Eine Testreihe über verschiedene N zeigt, daß mit steigendem N auch die polynomiale Anzahl der Messungen steigt, damit der reduzierte Shor-Algorithmus zu verlässlichen Ordnungen R führt. Damit konnte gezeigt werden, daß sich die Berechnung der Ordnung R und somit die Faktorisierung der Zahl N über einen reduzierten Shor-Algorithmus auf einem klassischen Rechner nicht polynomialisieren läßt. Dieses Ergebnis entspricht der Erwartung. Denn wäre es möglich, die Zahl N mit polynomialen Aufwand zu faktorisieren, dann könnten Computer-Hecker ohne große Mühe verschlüsselte Informationen entschlüsseln. Mit der Methode der phasenbehafteten Messungen ist dies nicht möglich.     «

Die meisten heutigen Verfahren zur Verschlüsselung und Entschlüsselung von Information bei Verwendung z.B. im Internet (Homebanking) oder im Auto (SMS-Telematik, Zertifikate) basieren auf der Schwierigkeit, große Primzahlen zu finden, bzw. eine große (öffentliche) Zahl in wenige aber große (private) Primfaktoren zu zerlegen. Das bekannteste und erfolgreichste Verfahren in der Public-Key-Kryptographie ist das RSA-Verfahren. Im Jahr 1994 demonstrierte der amerikanische Mathematiker Peter W. Shor,...     »

Most current algorithms for encoding and decoding information, e.g. in the internet (home banking) or in automotive systems (SMS Telematics, Certificates), have great problems in both finding big prime factors and factorizing a great (public) number into few but great (private) prim numbers. The most well-known factoring algorithm in Public Key Cryptography is the RSA Cryptosystem. In 1994 the American mathematician Peter W. Shor showed that the factorization problem of a natural number N could be solved \"efficiently\" on a quantum computer. \"Efficient\" means that the number of so-called \"gate operations\" is polynomial on the quantum computer, while, by contrast, the number of arithmetic operations on a classical computer is always exponential. Since there does not exist an \"efficient\" quantum computer, so far, the dissertation tries to use the stochastical properties of quantum mathematics in order to analyse whether it is possible to \"polynomialize\" the factoring problem of a natural number N with Shor´s Order-Finding Problem on a classical computer. This is done with the help of phase-based measurements.Shor´s Algorithm only computes order R modulo N of Gary Lee Miller´s factoring algorithm while the final factors of N are evaluted with the help of Euclid´s algorithm of the greatest common divisor. For this reason, this dissertation concentrates on whether it is possible to \"polynomialize\" the computation of order R. Phase-based measurements for Shor´s algorithm mean: the multi-q-bit is measured after Hadamard Gate and Inverse Fourier Transformation Gate have been passed. The measurement is performed with the help of a random generator. In phase-based operations the phase of the measured base vector of the multi-q-bit is taken over normalized. A polynomial number of different measurements summed up results in a reduced Shor algorithm. With this reduced algorithm order R modulo N is computed and compared with the expected value. Test sequences with different values of N show that the polynomial number of measurements has to increase with bigger N, so that the reduced Shor algorithm delivers a respectable Order R. Such it could be proved that the computation of order R and, in consequence, the factorization of number N could not be \"polynomialized\" with the help of Shor´s algorithm on a classical computer. This result is not contrary to expectations. If it had been possible to \"polynimalize\" the factorization of number N, then, computer criminals could decode encoded information without problems. With the help of phase-based measurements this is not possible.     «

Most current algorithms for encoding and decoding information, e.g. in the internet (home banking) or in automotive systems (SMS Telematics, Certificates), have great problems in both finding big prime factors and factorizing a great (public) number into few but great (private) prim numbers. The most well-known factoring algorithm in Public Key Cryptography is the RSA Cryptosystem. In 1994 the American mathematician Peter W. Shor showed that the factorization problem of a natural number N could...     »